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Module 1. Traitement des signaux numériques 

1.1. Introduction 

1.1.1. Signification du "Traitement Numérique du Signal" 
1.1.2. Comparaison entre DSP et ASP
1.1.3. Histoire de l'DSP
1.1.4. Applications du DSP

1.2. Signaux à temps discret 

1.2.1. Introduction 
1.2.2. Classification des séquences 

1.2.2.1. Séquences unidimensionnelles et multidimensionnelles 
1.2.2.2. Séquences paires et impaires 
1.2.2.3. Séquences périodiques et apériodiques 
1.2.2.4. Séquences déterministes et aléatoires 
1.2.2.5. Séquences énergétiques et séquences de puissance 
1.2.2.6. Séquences réelles et complexes 

1.2.3. Séquences exponentielles réelles 
1.2.4. Séquences sinusoïdales 
1.2.5. Séquence d'impulsions 
1.2.6. Séquence d'étapes 
1.2.7. Séquences aléatoires 

1.3. Systèmes à temps discret

1.3.1. Introduction 
1.3.2. Classification d'un système 

1.3.2.1. Linéarité 
1.3.2.2. Invariance 
1.3.2.3. Stabilité 
1.3.2.4. Causalité 

1.3.3. Équations de différence 
1.3.4. Convolution Discrète 

1.3.4.1. Introduction 
1.3.4.2. Déduction de la formule de convolution discrète 
1.3.4.3. Propriétés 
1.3.4.4. Méthode graphique de calcul de la convolution 
1.3.4.5. Justification de la convolution 

1.4. Séquences et systèmes dans le domaine de la fréquence

1.4.1. Introduction 
1.4.2. Transformée Temporelle de Fourier Discrète (DTFT) 

1.4.2.1. Définition et Justification 
1.4.2.2. Observations 
1.4.2.3. Transformations Inverses (IDTFT) 
1.4.2.4. Propriétés de la DTFT 
1.4.2.5. Exemples 
1.4.2.6. Calcul de la DTFT sur un ordinateur 

1.4.3. Réponse en fréquence d'un système LI à temps discret 

1.4.3.1. Introduction 
1.4.3.2. Réponse en fréquence en fonction de la réponse impulsionnelle 
1.4.3.3. Réponse en fréquence en fonction de l'équation de différence 

1.4.4. Relation entre la Bande Passante-Temps de Réponse 

1.4.4.1. Relation Durée-Largeur de Bande d'un signal 
1.4.4.2. Implications pour les filtres 
1.4.4.3. Implications pour l'analyse spectrale 

1.5. Échantillonnage de signaux analogiques 

1.5.1. Introduction 
1.5.2. Échantillonnage et Aliasing 

1.5.2.1. Introduction 
1.5.2.2. Visualisation de Aliasing dans le domaine temporel 
1.5.2.3. Visualisation de Aliasing dans le domaine de la fréquence 
1.5.2.4. Exemple de Aliasing 

1.5.3. Relation entre la fréquence analogique et la fréquence numérique 
1.5.4. Filtre anti-repliement 
1.5.5. Simplification du filtre anti-alias 

1.5.5.1. Échantillonnage avec prise en charge de Aliasing 
1.5.5.2. Sur-échantillonnage 

1.5.6. Simplification du filtre reconstructeur 
1.5.7. Bruit de quantification 

1.6. Transformée de Fourier discrète 

1.6.1. Définition et justification 
1.6.2. Transformation inverse 
1.6.3. Exemple de programmation et application de la DFT 
1.6.4. Périodicité de la séquence et son spectre 
1.6.5. Convolution au moyen de la DFT 

1.6.5.1. Introduction 
1.6.5.2. Déplacement circulaire 
1.6.5.3. Convolution circulaire 
1.6.5.4. Équivalence dans le domaine des fréquences 
1.6.5.5. Convolution dans le domaine de la fréquence 
1.6.5.6. Convolution linéaire par convolution circulaire 
1.6.5.7. Résumé et exemple de temps de calcul 

1.7. Transformée de Fourier rapide 

1.7.1. Introduction 
1.7.2. La redondance dans la FFT 
1.7.3. Algorithme de décomposition du temps 

1.7.3.1. Base de l'algorithme 
1.7.3.2. Développement d'algorithmes 
1.7.3.3. Nombre de multiplications complexes requises 
1.7.3.4. Observations 
1.7.3.5. Temps de calcul 

1.7.4. Variantes et adaptations de l'algorithme ci-dessus 

1.8. Analyse spectrale 

1.8.1. Introduction 
1.8.2. Signaux périodiques coïncidant avec la fenêtre d'échantillonnage 
1.8.3. Signaux périodiques ne coïncidant pas avec la fenêtre d'échantillonnage 

1.8.3.1. Contenu parasite dans le spectre et utilisation de fenêtres
1.8.3.2. Erreur causée par la composante continue
1.8.3.3. Erreur dans la magnitude des composantes non coïncidentes
1.8.3.4. Bande Passante et Résolution de l'Analyse Spectrale 
1.8.3.5. Augmenter la longueur de la séquence en ajoutant des zéros 
1.8.3.6. Application à un signal réel 

1.8.4. Signaux aléatoires stationnaires 

1.8.4.1. Introduction
1.8.4.2. Densité spectrale de puissance
1.8.4.3. Périodogramme 
1.8.4.4. Indépendance de l'échantillon 
1.8.4.5. Faisabilité du calcul de la moyenne 
1.8.4.6. Facteur d'échelle de la formule du périodogramme 
1.8.4.7. Périodogramme modifié 
1.8.4.8. Calcul de la moyenne avec chevauchement 
1.8.4.9. Méthode de Welch
1.8.4.10. Taille du segment
1.8.4.11. Mise en œuvre de MATLAB

1.8.5. Signaux aléatoires stationnaires 

1.8.5.1. STFT 
1.8.5.2. Représentation graphique de la STFT 
1.8.5.3. Mise en œuvre de MATLAB 
1.8.5.4. Résolution spectrale et temporelle 
1.8.5.5. Autres méthodes 

1.9. Conception d'un filtre FIR 

1.9.1. Introduction 
1.9.2. Moyenne mobile 
1.9.3. Relation linéaire phase-fréquence 
1.9.4. Exigence de phase linéaire 
1.9.5. Méthode de la fenêtre 
1.9.6. Méthode d'échantillonnage par fréquence 
1.9.7. Méthode optimale 
1.9.8. Comparaison entre les méthodes de conception ci-dessus 

1.10. Conception d'un filtre IIR 

1.10.1. Introduction 
1.10.2. Conception d'un filtre IIR du premier ordre 

1.10.2.1. Filtre passe-bas 
1.10.2.2. Filtre passe-haut 

1.10.3.La transformation en Z 

1.10.3.1. Définition 
1.10.3.2. Existence 
1.10.3.3. Fonctions Rationnelles de z, zéros et pôles 
1.10.3.4. Déplacement d'une séquence 
1.10.3.5. Fonction de transfert 
1.10.3.6. Principe de fonctionnement de TZ 

1.10.4.La transformation bilinéaire 

1.10.4.1. Introduction 
1.10.4.2. Déduction et validation de la transformation bilinéaire 

1.10.5.Conception de filtres analogiques Butterworth 
1.10.6. Exemple de conception d'un filtre IIR passe-bas de type Butterworth 

1.10.6.1. Spécifications du filtre numérique 
1.10.6.2. Passage aux spécifications des filtres analogiques 
1.10.6.3. Conception de filtres analogiques 
1.10.6.4. Transformation de Ha(s) en H(z) en utilisant la TB 
1.10.6.5. Vérification de la conformité aux spécifications 
1.10.6.6. Équation de différence du filtre numérique 

1.10.7.Conception automatisée de filtres IIR 
1.10.8. Comparaison entre les filtres FIR e

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